Décrire le mouvement d'un mobile sans chercher ses causes : mobile, trajectoire, référentiel, position, équations horaires, équation de la trajectoire.
La cinématique est l'étude du mouvement des objets sans tenir compte des causes à l'origine de ces mouvements.
I. Rappels
I.1 Mobile
Mobile
On appelle mobile tout corps qui se déplace. C'est l'objet sur lequel porte l'étude du mouvement.
I.2 Trajectoire
Trajectoire
La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile au cours de son déplacement.
Elle peut être :
rectiligne si le chemin suivi est une droite ;
circulaire si le chemin suivi est un cercle ou un arc de cercle ;
curviligne si le chemin suivi est une courbe.
Figure à toucher : elle apparaît quand la page a fini de charger.
Choisis une trajectoire. Chaque point de craie est une position du mobile.
Question 1
Une bille lâchée sans vitesse tombe tout droit vers le sol. Sa trajectoire est…
I.3 Caractère relatif du mouvement
Selon le corps que l'on prend comme référence, un mobile peut être en mouvement ou ne pas l'être : la notion de mouvement est relative à un système de référence, ou référentiel.
Figure à toucher : elle apparaît quand la page a fini de charger.
Change de référence et regarde le passager : bouge-t-il ou non ?
Question 2
Tu es assis dans un bus qui roule. Par rapport à ton voisin de siège, tu es…
I.4 Référentiel
4.1 Définition
Référentiel
Un référentiel est un solide, ou un ensemble de solides fixes, par rapport auxquels on étudie le mouvement.
À tout référentiel on associe un repère d'espace et un repère de temps.
a) Repère d'espace
Repère d'espace
Un repère d'espace est l'association d'un point d'origine avec une base constituée de vecteurs unitaires.
Exemples :
le repère d'espace cartésien R(O, i, j, k) ;
le repère de Frenet R(M, τ, n).
b) Repère de temps
Repère de temps
Le repère de temps se ramène au choix d'une origine des dates, appelée instant initial et notée t0, d'une unité de mesure du temps et d'un appareil de mesure du temps.
4.2 Exemples de référentiels
a) Le référentiel terrestre, ou référentiel de laboratoire
Il a pour origine un point lié à la Terre. Il est utilisé pour étudier les mouvements de courte durée qui ont lieu sur la Terre.
b) Le référentiel géocentrique, ou référentiel de Coriolis
Il a pour origine le centre de la Terre. Il est utilisé pour étudier le mouvement de la Terre autour d'elle-même ou le mouvement des satellites autour de la Terre.
c) Le référentiel héliocentrique, ou de Copernic
Il a pour origine le centre du Soleil. Il est utilisé pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.
Figure à toucher : elle apparaît quand la page a fini de charger.
Choisis un référentiel : regarde où est son origine O et ce qu'il sert à étudier.
Question 3
Pour étudier le mouvement d'un satellite autour de la Terre, on choisit le référentiel…
II. Grandeurs cinématiques
II.1 Position du mobile
Selon la trajectoire d'étude, la position d'un point mobile peut être repérée de plusieurs façons.
1.1 Repérage en coordonnées cartésiennes
Soit un point mobile M qui se déplace. Sa position peut être repérée dans la base cartésienne à partir de son vecteur position, noté OM.
Figure à toucher : elle apparaît quand la page a fini de charger.
Déplace les trois craies : M bouge, et ses projections P, Q et R le suivent.
On note OP=x, OQ=y et OR=z.
Du schéma à la formule
OM=Om+mM, avec mM=OR
Om=OP+Pm, avec Pm=OQ
Donc OM=OP+OQ+OR
Or OP=xi, OQ=yj et OR=zk
OM=xi+yj+zk
x, y et z sont les coordonnées du point mobile M :
x : l'abscisse ;
y : l'ordonnée ;
z : la cote, ou altitude.
Si le mobile se déplace, ses coordonnées varient au cours du temps. Ce sont donc des fonctions du temps : x=x(t), y=y(t) et z=z(t).
a) Équation horaire
Équation horaire
L'équation horaire est une écriture où chacune des coordonnées du point mobile est donnée en fonction du temps.
Exemple :
OMx=2t+1y=t2−2t+3z=0
Autrement dit : OM=(2t+1) i+(t2−2t+3) j.
Figure à toucher : elle apparaît quand la page a fini de charger.
Fais avancer le temps avec la craie : à chaque date t, le mobile a une position.
b) Équation cartésienne de la trajectoire
Équation cartésienne de la trajectoire
C'est une équation obtenue en éliminant le paramètre temps t dans les équations horaires. Elle permet de déterminer la nature de la trajectoire.
Si la trajectoire est une droite, l'équation est de la forme y=ax+b.
Si la trajectoire est une parabole, elle est de la forme y=ax2+bx+c.
Si la trajectoire est un cercle de centre I(a ; b) et de rayon r, elle est de la forme (x−a)2+(y−b)2=r2.
Exemple :
OMx=2t−1y=4t2−2t+3
Élimine le temps, une étape à la fois
De la première équation : x=2t−1, donc t=x+12
On remplace t dans la seconde : y=4(x+12)2−2 x+12+3
On développe : y=x2+2x+1−x−1+3
On réduit : y=x2+x+3
C'est de la forme y=ax2+bx+c : la trajectoire est parabolique.
Figure à toucher : elle apparaît quand la page a fini de charger.
En pointillé, la courbe y=x2+x+3. Fais avancer le temps : le mobile ne la quitte jamais.
Question 4
Un mobile a pour équations horaires x=3t et y=6t+1. Sa trajectoire est…
Le cours s'arrête ici pour l'instant. La suite arrive après le prochain cours de PC.
Exercice
Exercice d'application
Le vecteur position d'un point mobile qui se déplace dans le repère cartésien est donné par :
OM=2ti+(−5t2+2t) k
Donner les équations horaires de ce point mobile.
Établir l'équation cartésienne de la trajectoire. En déduire la nature de la trajectoire.
Trouver la position du point mobile aux instants t0=1 s et t1=3 s.
Calculer la distance parcourue par le mobile entre t0 et t1.
Brouillon : essaie ici avec ton doigt
Indice 1
Question 1 : lis ce qui est écrit devant i, devant j et devant k. Il n'y a rien devant j : que vaut y ?
Indice 2
Question 2 : tire t de l'équation la plus simple, puis remplace-le dans l'autre.
Indice 3
Question 4 : calcule la distance entre les deux positions M0 et M1 à partir de leurs coordonnées.
Figure à toucher : elle apparaît quand la page a fini de charger.
Vérifie sur le tableau : fais avancer le temps et regarde où passent M0 et M1.
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